ax²+bx+c=0 lösen und Wurzeln, Diskriminante, Scheitelpunkt und SVG-Parabel anzeigen
Ein Quadratischer-Gleichungs-Löser findet die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, gegeben die drei Koeffizienten a, b und c. Er liefert die Nullstellen — die x-Werte, bei denen die Gleichung null ist — samt der Diskriminante, dem Scheitelpunkt der Parabel und einer gezeichneten Kurve, sodass Sie nicht nur die Antwort, sondern die Form dahinter sehen. Quadratische Gleichungen erscheinen in Mathematik, Physik und Technik, von der Wurfbewegung bis zur Optimierung, und sie von Hand mit der Mitternachtsformel zu lösen ist genau die sorgfältige Arithmetik, bei der man leicht ausrutscht.
Der Schlüssel zu einer quadratischen Gleichung ist die Diskriminante, der b² − 4ac-Teil der Formel, denn ihr Vorzeichen verrät die Art der Nullstellen, bevor Sie fertig sind: positiv heißt zwei verschiedene reelle Nullstellen, null heißt eine doppelte Nullstelle, und negativ heißt zwei komplexe Nullstellen ohne reelle x-Achsenschnitte. Diskriminante, Scheitelpunkt (den Wendepunkt der Parabel) und Graph zusammen zu sehen macht aus der abstrakten Formel ein intuitives Bild. Dieses Tool berechnet alles im Browser und zeichnet die Parabel, sodass die Lösung visuell und numerisch ist.
Die Diskriminante ist b² − 4ac, der Teil unter der Wurzel in der quadratischen Formel. Ihr Vorzeichen verrät die Nullstellen vor dem Fertigwerden: positiv gibt zwei verschiedene reelle Nullstellen, null gibt eine doppelte Nullstelle, und negativ gibt zwei komplexe Nullstellen ohne reelle Lösungen — der Graph kreuzt die x-Achse also nicht.
Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Parabel — ihr tiefster Punkt, wenn sie nach oben öffnet, oder höchster, wenn sie nach unten öffnet. Er markiert, wo die Kurve die Richtung ändert, und ist der Maximal- oder Minimalwert der quadratischen Funktion, was bei Optimierungsproblemen zählt.
Wenn die Diskriminante negativ ist, berührt die Parabel die x-Achse nie, es gibt also keine reellen x-Werte, die die Gleichung null machen. Die Nullstellen sind stattdessen komplexe Zahlen. Ein Graph macht das klar: Die Kurve liegt ganz über oder unter der Achse.
Ist a null, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch — sie wird linear (bx + c = 0), was eine einzige einfache Lösung hat statt der Parabel und bis zu zwei Nullstellen einer echten quadratischen Gleichung. Eine quadratische Gleichung verlangt einen von null verschiedenen a-Koeffizienten.
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