Logarithmus-Rechner

log₁₀, ln, log₂ und benutzerdefinierte Basis-Logarithmen mit Antilogarithmus berechnen

Was ist das und wie funktioniert es?

Ein Logarithmus beantwortet die Frage „Auf welche Potenz muss die Basis erhöht werden, um diese Zahl zu erhalten?" — log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. Drei Basen dominieren in der Praxis: Basis 10 (log, in Wissenschaft und der Dezibel-Skala), Basis e (ln, der natürliche Logarithmus, in Analysis und Wachstumsmodellen) und Basis 2 (log₂, in der Informationstheorie und Informatik).

Logarithmen treten ständig in der Algorithmenanalyse (O(log n) Komplexität), der Audiotechnik (Dezibel), Signalverarbeitung, Statistik (Log-Normalverteilungen) und Finanzmathematik auf. Die Basiswechselformel — log_b(x) = ln(x) / ln(b) — reduziert jede Basis auf den natürlichen Logarithmus.

Anwendungsfälle

• Algorithmenanalyse: Wie oft muss man 1.000.000 halbieren, um 1 zu erreichen? log₂(1.000.000) ≈ 19,9, also ca. 20-mal — die Tiefe eines binären Suchbaums.
• Dezibel: Ein Schall mit 10.000-facher Referenzintensität beträgt 10 × log₁₀(10000) = 40 dB.
• Zinseszins: Eine Investition, die sich alle 7 Jahre verdoppelt — welcher Jahreszinssatz? ln(2)/7 ≈ 9,9 % p.a. (kontinuierliche Verzinsung).

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen log und ln?

log (oder log₁₀) ist der Basis-10-Logarithmus. ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (≈ 2,71828), dessen Ableitung 1/x ist. In der reinen Mathematik bedeutet „log" oft ln; in der Ingenieurwissenschaft meist log₁₀.

Warum kann ich den Logarithmus von negativen Zahlen oder Null nicht berechnen?

Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert. Keine reelle Potenz einer positiven Basis ergibt eine negative Zahl oder Null.

Was ist log(1) unabhängig von der Basis?

Immer 0. Jede Basis hoch 0 ergibt 1, daher ist der Logarithmus von 1 für jede Basis gleich 0.

Wie konvertiere ich zwischen Basen?

Nutzen Sie die Basiswechselformel: log_b(x) = log_c(x) / log_c(b) für eine beliebige Basis c. Beispiel: log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0,301 ≈ 6,644.

Mathematik

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